Cube Root of Unity

The root of unity is a number which is complex in nature and gives 1 if raised to the power of a positive integer n.

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$x^3 = 1$의 허근에 대해서 살펴보겠습니다.

이 식은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$

따라서 $x^3 = 1$의 한 허근을 $\omega$라고 하면 다음과 같은 두 개의 등식을 얻을 수 있습니다.

$\omega^3 = 1$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$

이 성질을 이용하면 0이상인 임의의 정수 $n$에 대해 $\omega^n$을 1차 또는 0차(상수)로 줄일 수 있습니다.

몇 가지 예를 들어보겠습니다.

$\omega^0 = 1$

$\omega^1 = \omega$

$\omega^2 = -\omega - 1$

$\omega^3 = 1$

$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega $

$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2 = -\omega - 1$

$\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$

$\vdots$

위의 패턴을 살펴보면 $n$이 3의 배수일 때 마다 1이 반복적으로 나타나는 3주기 성질을 가지는 것을 알 수 있습니다.

이러한 $\omega$의 3주기 성질을 이용하면 다음과 같은 문제를 쉽게 풀 수 있습니다.

$1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{98} = ?$

$1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{98}$

$= (1 + \omega + \omega^2) + \omega^3(1 + \omega + \omega^2) + \omega^6(1 + \omega + \omega^2) + \cdots + \omega^{3 \times 32}(1 + \omega + \omega^2)$

$= 0 \times 33$

$= 0$

정리하면 다음과 같은 조건 중 하나가 주어지면 $\omega$의 3주기 성질을 사용하여 문제를 풀 수 있다는 사실을 알아야 합니다.

1) $x^3 = 1$

2) $x^2 + x + 1 = 0$

3) $x + \frac{1}{x} = -1$

4) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

2번식과 3번식의 양변에 각각 $(x-1)$과 $x$를 곱하면 1번식으로 변형할 수 있고, 4번식은 2번식의 두 해이므로 위의 네 가지 등식은 모두 같은 의미를 가지기 때문입니다.

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이러한 개념을 조금 더 확장해보겠습니다.

$x^n - 1$은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.

$x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1)$

이 식은 복잡해 보이지만 어렵지 않게 이해할 수 있습니다.

$(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1)$ 에서

1) 최고차항인 $x^n$은 $x \times x^{n-1}$로 만들어집니다.

2) 그 다음 최고차항인 $x^{n-1}$은

$x \times x^{n-2}$과 $-1 \times x^{n-1}$

로 만들어지는데 두 결과가 상쇄되기 때문에 사라집니다.

3) 그 다음 고차항인 $x^{n-2}$은

$x \times x^{n-3}$과 $-1 \times x^{n-2}$

로 만들어지는데 두 결과가 상쇄되기 때문에 사라집니다.

$\vdots$

이런식으로 모든 항이 사라지고 최고차항과 상수항만 남게 되는데, 상수항은 $-1$이기 때문에 전개한 결과는 $x^n - 1$이 됩니다.

따라서 임의의 자연수 $n$에 대해 $x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1 = 0$라는 조건이 주어지면 $x^n = 1$이 성립함을 알 수 있습니다. 그리고 이것은 $x^n$의 $n$주기 성질을 가지고 차수줄이기를 할 수 있다는 것을 의미합니다.

예를 들어 $x^3 + x^2 + x + 1 = 0$이라는 조건이 주어졌다면 $x^4 = 1$이 되기 때문에 다음과 같은 식의 정리가 가능합니다.

1. $x^{100} = (x^4)^{25} = 1$

2. $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{98} = 14 \times (1 + x + x^2 + x^3) + (1 + x) = 1 + x$