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Cube Root of Unity
The root of unity is a number which is complex in nature and gives 1 if raised to the power of a positive integer n.
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x3=1의 허근에 대해서 살펴보겠습니다.
이 식은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.
x3−1=(x−1)(x2+x+1)=0
따라서 x3=1의 한 허근을 ω라고 하면 다음과 같은 두 개의 등식을 얻을 수 있습니다.
ω3=1
ω2+ω+1=0
이 성질을 이용하면 0이상인 임의의 정수 n에 대해 ωn을 1차 또는 0차(상수)로 줄일 수 있습니다.
몇 가지 예를 들어보겠습니다.
ω0=1
ω1=ω
ω2=−ω−1
ω3=1
ω4=ω3⋅ω=ω
ω5=ω3⋅ω2=ω2=−ω−1
ω6=(ω3)2=12=1
⋮
위의 패턴을 살펴보면 n이 3의 배수일 때 마다 1이 반복적으로 나타나는 3주기 성질을 가지는 것을 알 수 있습니다.
이러한 ω의 3주기 성질을 이용하면 다음과 같은 문제를 쉽게 풀 수 있습니다.
1+ω+ω2+ω3+⋯+ω98=?
1+ω+ω2+ω3+⋯+ω98
=(1+ω+ω2)+ω3(1+ω+ω2)+ω6(1+ω+ω2)+⋯+ω3×32(1+ω+ω2)
=0×33
=0
정리하면 다음과 같은 조건 중 하나가 주어지면 ω의 3주기 성질을 사용하여 문제를 풀 수 있다는 사실을 알아야 합니다.
1) x3=1
2) x2+x+1=0
3) x+1x=−1
4) x=−1±√3i2
2번식과 3번식의 양변에 각각 (x−1)과 x를 곱하면 1번식으로 변형할 수 있고, 4번식은 2번식의 두 해이므로 위의 네 가지 등식은 모두 같은 의미를 가지기 때문입니다.
이러한 개념을 조금 더 확장해보겠습니다.
xn−1은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.
xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1)
이 식은 복잡해 보이지만 어렵지 않게 이해할 수 있습니다.
(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1) 에서
1) 최고차항인 xn은 x×xn−1로 만들어집니다.
2) 그 다음 최고차항인 xn−1은
x×xn−2과 −1×xn−1
로 만들어지는데 두 결과가 상쇄되기 때문에 사라집니다.
3) 그 다음 고차항인 xn−2은
x×xn−3과 −1×xn−2
로 만들어지는데 두 결과가 상쇄되기 때문에 사라집니다.
⋮
이런식으로 모든 항이 사라지고 최고차항과 상수항만 남게 되는데, 상수항은 −1이기 때문에 전개한 결과는 xn−1이 됩니다.
따라서 임의의 자연수 n에 대해 xn−1+xn−2+⋯+x+1=0라는 조건이 주어지면 xn=1이 성립함을 알 수 있습니다. 그리고 이것은 xn의 n주기 성질을 가지고 차수줄이기를 할 수 있다는 것을 의미합니다.
예를 들어 x3+x2+x+1=0이라는 조건이 주어졌다면 x4=1이 되기 때문에 다음과 같은 식의 정리가 가능합니다.
-
x100=(x4)25=1
-
1+x+x2+x3+⋯+x98=14×(1+x+x2+x3)+(1+x)=1+x