Conjugate Roots

A conjugate pair of roots refers to two complex roots of a polynomial with opposite imaginary parts.

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이차방정식의 근이 복소수일 때, 허수부분의 부호가 반대인 두 근을 서로 켤레근이라고 합니다.

예를 들어, 다음과 같은 이차방정식이 주어졌다고 가정해보겠습니다.

$ax^2 + bx + c = 0$ (단, $a$, $b$, $c$는 모두 실수이고, $a \neq 0$)

이때 만약 이 이차방정식이 $x = \alpha + \beta i$를 근으로 가진다면, 나머지 한 근은 켤레근인 $x = \alpha - \beta i$ 형태가 됩니다.

이것에 대한 증명은 다음과 같습니다.

우선 증명을 간단하게 하기 위해서 주어진 이차식의 양변을 $a$로 나누고 시작하겠습니다. 그리고 이 함수식을 $f(x)$라 하겠습니다.

$f(x) = x^2 + px + q = 0$ (단, $p=\frac{b}{a}$, $q=\frac{c}{a}$)

이제 $f(\alpha + \beta i) = 0$ 일 때 $f(\alpha - \beta i) = 0$이 되는 것을 증명하면 됩니다.

$f(\alpha + \beta i) = (\alpha + \beta i)^2 + p(\alpha + \beta i) + q = (\alpha^2 - \beta^2 + p \alpha + q) + (2\alpha\beta + p\beta)i = 0$

허수는 덧셈에 대해서 닫혀있기 때문에 이 식을 만족시키려면 실수부와 허수부가 모두 0이어야 합니다.

$\alpha^2 - \beta^2 + p \alpha + q = 0$

$2\alpha\beta + p\beta = 0$

한편 $f(\alpha - \beta i) = (\alpha - \beta i)^2 + p(\alpha - \beta i) + q$ 인데, 이 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$f(x) = (\alpha^2 - \beta^2 + p \alpha + q) - (2\alpha\beta + p\beta)i = 0$

따라서 $f(\alpha - \beta i) = 0$이 되고, $x = \alpha - \beta i$ 또한 주어진 방정식의 해가 되는 것을 알 수 있습니다. Q.E.D.

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켤레근의 성질은 삼차방정식에 대해서도 성립합니다. 삼차방정식의 켤레근의 성질은 이차방정식의 켤레근이 성질을 이용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.

1) 세 근이 모두 복소수인 경우

$f(x)=\lbrace x-(a+bi) \rbrace \lbrace x-(c+di)\rbrace \lbrace x-(e+fi) \rbrace$의 상수항은 허수가 되므로 계수가 모두 실수라는 사실에 위배됩니다. 따라서 이러한 경우는 존재할 수 없습니다.

2) 한 근만 복소수이고 두 근은 실수인 경우

$f(x)=\lbrace x-(a+bi) \rbrace (x-c)(x-d)$의 상수항은 허수가 되므로 계수가 모두 실수라는 사실에 위배됩니다. 따라서 이러한 경우는 존재할 수 없습니다.

3) 두 근이 복소수이고 한 근은 실수인 경우

실근을 $\alpha$라고 하면 $f(x)$는 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.

$f(x)=(x-\alpha)(x^2+px+q)$

두 복소수 근 중 하나를 $a+bi$라고 하면, 이것은 이차방정식 $x^2+px+q=0$의 해가 됩니다. 그런데 이때 앞에서 증명한 바와 같이 $a-bi$ 또한 이 이차방정식의 해가 됩니다.

따라서 계수가 실수인 삼차방정식의 한 근이 $a+bi$라면 켤레근인 $a-bi$ 또한 이 방정식의 근이라는 사실을 알 수 있습니다. Q.E.D.