Clairaut's Theorem

Proof on Clairaut’s Theorem

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클레로 정리 (Clairaut’s Theorem) $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}$를 증명해 보겠습니다.

$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}f_x(x,y) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_x(x,y+h)-f_x(x,y)}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\lim_{r\rightarrow 0}\frac{f(x+r,y+h)-f(x,y+h)}{r}-\lim_{r\rightarrow 0}\frac{f(x+r,y)-f(x,y+h)}{r}}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y+h)}{h} - \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+h,y+h)-f(x+h,y)}{h} - \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\lim_{r\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y+r)-f(x+h,y)}{r}-\lim_{r\rightarrow 0}\frac{f(x,y+r)-f(x,y)}{r}}{h}$

$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f_y(x+h,y)-f_y(x,y)}{h}$

$= \frac{\partial}{\partial x} f_y(x,y)$

$= f_{yx}(x,y)$

Q.E.D.