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Conic Sections #3
Hyperbola
본 포스트에는 수식이 포함되어 있습니다. 분수 등의 수식이 정상적으로 보이지 않는 경우에는 수식을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭한 후 “Math Renderer”를 SVG로 바꿔주세요. (➔How-To)
쌍곡선의 정의: 두 초점 $\mathbf{F}^{\prime}(-c,0)$, $\mathbf{F}(c,0)$로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합
일정한 거리의 차를 $2a$, 쌍곡선 위의 임의의 점을 $\mathbf{P}(x,y)$라 하자.
그러면 쌍곡선의 정의에 의해 다음과 같은 등식이 성립한다.
$\lvert \overline{\mathbf{F}^{\prime}\mathbf{P}} - \overline{\mathbf{FP}} \rvert = 2a$
이 등식을 정리하면 하면 다음과 같은 쌍곡선의 방정식을 얻을 수 있다.
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
proof
$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = \pm 2a$
$\sqrt{x^2+2cx+c^2+y^2} - \sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2} = \pm 2a$
$\sqrt{x^2+2cx+c^2+y^2} = \sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2} \pm 2a$
$x^2+2cx+c^2+y^2 = (x^2-2cx+c^2+y^2) \pm 4a \sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2} + 4a^2$
$2cx = -2cx \pm 4a \sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2} + 4a^2$
$4cx - 4a^2 = \pm 4a \sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}$
$cx - a^2 = \pm a \sqrt{x^2-2cx+c^2+y^2}$
$(cx - a^2)^2 = a^2 (x^2-2cx+c^2+y^2)$
$c^2x^2 - 2ca^2x + a^4 = a^2x^2 - 2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2$
$c^2x^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$
$(c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$
$b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
한편 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$를 다음과 같이 정리할 수 있다.
$y = \pm \frac{b}{a}x \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}$
여기서 x를 무한대로 보내면 이 식은 $y = \pm \frac{b}{a} x$가 되고, 이 식이 바로 쌍곡선의 두 점근선이 된다.
(보다 엄밀한 증명은 극한을 도입해야 하지만, 여기서는 약식으로 증명하였다.)
따라서 쌍곡선의 그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.
