Conic Sections #1

Parabola

본 포스트에는 수식이 포함되어 있습니다. 분수 등의 수식이 정상적으로 보이지 않는 경우에는 수식을 마우스 오른쪽 버튼으로 클릭한 후 “Math Renderer”를 SVG로 바꿔주세요. (➔How-To)

포물선의 정의: 준선 $y=-p$와 초점 $\mathbf{F}(p,0)$로부터의 거리가 같은 점들의 집합

포물선 위의 임의의 점을 $\mathbf{P}(x,y)$, 점 $\mathbf{P}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathbf{H}$라 하자.

그러면 포물선의 정의에 의해 다음과 같은 등식이 성립한다.

$\overline{\mathbf{PF}} = \overline{\mathbf{PH}}$

이 등식을 정리하면 하면 다음과 같은 포물선의 방정식을 얻을 수 있다.

$y^2 = 4px$

proof

$\sqrt{(x-p)^2+y^2} = \lvert x + p \rvert$

$(x-p)^2+y^2 = (x + p)^2$

$x^2 - 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2$

$-2px + y^2 = 2px$

$y^2 = 4px$

따라서 쌍곡선의 그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.