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Mathematical Fundamentals for Graphics Development

머리말

기초수학 (Basic Mathematics)

• 공리 / 정의 / 정리 (Axiom / Definition / Theorem)
• 등식 / 방정식 (Equality / Equation)
• 정성적 / 정량적 표현법 (Quantitative / Qualitative Representaion)
• 집합 (Set)
• 명제 (Proposition)
• 수 체계 (Number System)
• 유클리드 공간 (Euclidean Space)
• 삼각형 (Triangle)
• 단체 (Simplex)
• 직각삼각형 (Right Triangle)
• 원 / 구 (Circle / Sphere)
• 호도법 (Circular Measure)
• 물리량 (Physical Quantity)
• 벡터 (Vector)
• 내적 / 외적 (Inner / Outer Product)
• 내적과 외적의 응용 (Application of Inner and Outer Products)
• 함수 (Function)
• 다항식 / 다항함수 (Polynomial / Polynomial Function)
• 일차함수 (Linear Function)
• 이차함수 (Quadratic Function)
• 이차(다항)식 / 이차함수 / 이차방정식 (Quadratic Polynomial / Function / Equation)
• 지수함수 / 로그함수 (Exponential / Log Function)
• 로지스틱 / 시그모이드 함수 (Logistic / Sigmoid Function)
• 삼각비 / 삼각함수 (Trigonometric Ratio / Trigonometric Function)
• 삼각함수 공식 (Basic Formulas of Derivatives)
• 무한대 / 무한소 / 극한 (Infinity / Infinitesimal / Limit)
• 미분 / 적분 (Differentiation / Integration)
• 미분 공식 (Basic Formulas of Derivatives)
• 다중 적분 (Multiple Integral)
• 가우스 함수 / 적분 (Gaussian Function / Integral)
• 곡률 (Curvature)
• 테일러 전개 (Taylor Expansion)
• 매개변수 방정식 (Parametric Equations)
• 델타 함수 (Delta Function)
• 복소수 (Complex Number)
• 자연상수 (Natural Constant)
• 오일러 공식 (Euler’s Formula)

확률 (Probability)

• 확률 (Probability)
• 순열 / 조합 (Permutation / Combination)
• 파스칼의 삼각형 (Pascal’s Triangle)
• 조건부 확률 (Conditional probability)

통계 (Statistics)

• 통계 (Statistics)
• 평균 / 분산 / 표준편차 (Mean / Variance / Standard Deviation)
• 확률변수 (Random Variable)
• 기대값 (Expected Value)
• 모집단 / 표본 (Population / Sample)
• 확률분포 (Probability Distribution)
• 정규분포 (Normal Distribution)
• 적률생성함수(Moment Generating Function)
• 중심극한정리 (Central Limit Theorem)
• 이항분포 (Binomial Distribution)
• 푸아송분포 (Poisson Distribution)
• 감마분포 (Gamma Distribution)
• 상관분석 (Correlation Analysis)
• 난수 발생기 (Random Number Generator)
• 칼만 필터 (Kalman Filter)

수치해석 (Numerical Analysis)

• 아날로그 / 디지털 (Analog / Digital)
• 수치해석 (Numerical Analysis)
• 해석적 / 수치적 해 (Analytic / Numerical Solution)
• 입자의 운동 (Particle Motion)
• 질량-스프링-댐퍼 시스템 (Mass-Spring-Damper System)
• 시간에 대한 수치적분 (Numerical Time Integration)
• 수치미분 (Numerical Differentiation)
• 뉴턴 방법 (Newton’s Method)

선형대수 (Linear Algebra)

• 행렬 (Matrix)
• 역행렬 (Inverse Matrix)
• 네 개의 주요 부분공간 (The Four Fundamental Subspaces)
• 행렬식 (Determinant)
• 행렬방정식 (Matrix Equation)
• 행렬방정식을 푸는 방법 (How to Solve Ax=b)
• 직접법 (Direct Method)
• 간접법 (Iterative Method)
• 최소제곱법 (Least Squares Method)
• 고유값 / 고유벡터 (Eigenvalue / Eigenvector)
• 주성분 분석 (Principal Component Analysis)
• 특이값 분해 (Singular Value Decomposition)
• 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmidt Process)
• 행렬의 미분 (Matrix Differentiation)
• 자코비안 / 헤세 행렬 (Jacobian / Hessian Matrix)

벡터 미적분학 (Vector Calculus)

• 장 / 격자 (Field / Grid)
• 여러 유형의 격자 (Several Types of Grids)
• 오일러 / 라그랑주 기술법 (Eulerian / Lagrangian Approach)
• 편미분 (Partial Derivative)
• 편미분방정식 (Partical Differential Equation)
• 전미분 (Total Derivative)
• 구배 / 발산 / 회전 (Gradient / Divergence / Curl)
• 그린 / 스토크스 / 발산 정리 (Green’s / Stokes’ / Divergence Theorem)
• 라플라시안 (Laplacian)
• 푸아송 방정식 (Poisson’s Equation)
• 헬름홀츠-호지 분해 (Helmholtz-Hodge Decomposition)
• 레벨셋 방법 (Level Set Method)

최적화 (Optimization)

• 최소화 (Minimization)
• 직선 탐색 알고리즘 (Line Search Algorithm)
• 경사 하강법 (Gradient Descent Method)
• 선형회귀 / 최소제곱법 (Linear Regression / Least Squares)
• 형태 정합 (Shape Matching)
• 라그랑주 승수법 (Lagrange Multiplier Method)
• 변분법(Calculus of Variations)

동역학 (Dynamics)

• 뉴턴의 운동 법칙 (Newton’s Laws of Motion)
• 힘의 종류 (Types of Forces)
• 등속도 / 등가속도 운동 (Constant Velocity / Uniformly Accelerated Motion)
• 자유낙하 / 포물선 운동 (Free Fall / Projectile Motion)
• 마찰력 (Fictional Force)
• 경사면 운동 (Motion Along A Inclined Plane)
• 등속 원운동 (Uniform Circular Motion)
• 진자 운동 (Pendulum Motion)
• 운동량 / 충격량 (Momentum / Impulse)
• 에너지 보존 (Energy Conservation)
• 뉴턴 / 라그랑주 / 해밀턴 역학 (Newtonian / Lagrangian / Hamiltonian Mechanics)
• 오일러-라그랑주 방정식 (Euler-Lagrange Equation)

연속체 역학 (Continuum Mechanics)

• 연속체 (Continuum)
• 변형률 / 응력 (Strain / Stress)
• 코시 응력 텐서 (Cauchy Stress Tensor)
• 주응력 (Principal Stress)
• 나비에-스토크스 방정식 (Navier-Stokes Equations)
• 뉴턴 유체 (Newtonian Fluid)

물리기반 애니메이션 (Physically Based Animation)

• 강체 (Rigid Body)
• 변형체 (Soft Body)
• 머리카락 (Hair)
• 옷 (Cloth)
• 유체 (Fluid)

표면 변형 (Surface Deformation)

• Skinning
• Blend Shapes
• ARAP (As-Rigid-As-Possible) Deformation
• Smoothing Deformer
• Relaxing Deformer
• Wrap Deformer

디지털 이미지 (Digital Image)

• 이미지 센서 (Image Sensor)
• 비트맵 이미지 (Bitmap Image)
• 계조 (Gradation)
• 다이나믹 레인지 (Dynamic Range)
• 색공간 (Color Space)
• 합성곱 (Convolution)
• SIFT (Scale-Invariant Feature Transform)
• RANSAC (RANdom SAmple consensus)
• 광학 흐름 (Optical Flow)

푸리에 해석 (Fourier Analysis)

• 정현파 (Sine Wave)
• 고조파 (Harmonic Wave)
• 주기함수 (Periodic Function)
• 직교함수 (Orthogonal Function)
• 푸리에 급수 (Fourier Series)
• 푸리에 변환 (Fourier Transform)
• 이산 푸리에 변환 (Discrete Fourier Transform)
• 고속 푸리에 변환 (Fast Fourier Transform)
• 저역 통과 필터 (Low Pass Filter)
• 바다 시뮬레이션 (Ocean Simulation)

컴퓨터 비전 (Computer Vision)

• 카메라 (Camera)
• 카메라 보정 (Camera Calibration)
• 에피폴라 기하학 (Epipolar Geometry)
• SfM (Structure from Motion)
• 번들조정 (Bundle Adjustment)

위상수학 (Topology)

• 위상 (Topology)
• 위상동형 (Homeomorphism)
• 종수 (Genus)
• 다양체 (Manifold)

컴퓨터 그래픽스 (Computer Graphics)

• 점 vs 벡터 (Point vs Vector)
• 네 가지 유형의 디지털 객체 (Four Types of Digital Objects)
• 네 가지 유형의 애니메이션 방법 (Four Types of Animation Schemes)
• 표면 (Surface)
• 법선벡터 / 접선벡터 (Normal / Tangent Vector)
• 무게중심 좌표계 (Barycentric Coordinate)
• 곡선 (Spline)
• 변환 (Transformation)
• 회전 (Rotation)
• 두 직교좌표계 사이의 변환 (Transformation Between Two Cartesian Coordinate Systems)
• 축 회전 (Axis Angle Rotation)
• 오일러 각 (Euler Angles)
• 사원수 (Quaternion)
• 정방향 / 역방향 운동학 (Forward / Inverse Kinematics)
• 노이즈 (Noise)
• 샘플링 (Sampling)
• 들로네 삼각분할 (Delaunay Triangulation)
• 보로노이 다이어그램 (Voronoi Diagram)
• 가시변환 (Viewing Transformation)
• OpenGL / DirectX 그래픽스 파이프라인 (OpenGL / DirectX Graphics Pipeline)
• 쉐이딩 (Shading)
• 스캔라인 렌더링 (Scanline Rendering)
• 물리기반 렌더링 (Physically Based Rendering)
• 레이 마칭 (Ray Marching)
• 광선 추적 (Ray Tracing)

정보이론 (Information Theory)

• 정보 획득량 (Information Gain)
• 엔트로피 (Entropy)
• 교차 엔트로피 (Cross Entropy)
• 쿨백-라이블러 발산 (Kullback-Leiber Divergence)

딥러닝 (Deep Learning)

• 기계학습 (Machine Learning)
• 인공신경망 (Artificial Neural Network)
• 텐서 (Tensor)
• 거리 측정 지표 (Distance Metrics)
• 합성곱 신경망 (Convolutional Neural Network)
• 오토인코더 (Autoencoder)
• 적대적 생성 신경망 (Generative Adversarial Network)
• 강화학습 (Reinforcement Learning)
• 순환 신경망 (Recurrent Neural Network)
• 트랜스포머 (Transformer)
• 텍스트 임베딩 (Text Embedding)
• 확산모델 (Diffusion Process)

알고리즘 (Algorithm)

• 알고리즘 (Algorithm)
• 시간복잡도 (Time Complexity)
• 트리 / O(NlogN) (Tree / O(NlogN)
• 이진탐색 (Binary Search)
• N체 문제 (N-Body Problem)
• FMM (Fast Multipole Method)
• 충돌 탐지 (Collision Detection)

자료구조 (Data Structure)

• 자료구조 (Data Structure)
• 배열 (Array)
• 리스트 (List)
• 스택 / 큐 (Stack / Queue)
• 트리 (Tree)
• 그래프 (Graph)
• 해시 (Hash)
• 희소행렬 (Sparse Matrix)

프로그래밍 (Programming)

• 프로그래밍 언어 (Programming language)
• 컴파일 / 링크 / 빌드 (Compile / Link / Build)
• 정적 / 동적 라이브러리 (Static / Dynamic Library)
• 메모리 / 캐시 메모리 (Memory / Cache Memory)
• 그래픽 처리 장치 (GPU)
• GPGPU
• CUDA