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(negative) x (negative) = (positive)
Why is a negative times a negative positive?
첫째 딸에게 수학을 가르치면서 당연하게 생각했던 사실들에 대해서 왜 그런지 이유를 생각하게 되는 경우가 많다. 오늘 받은 질문은 “두 음수 끼리의 곱은 왜 양수가 되는가?”이다.
생각해보니 그저 당연한 사실로 받아들이고 이것에 대해서 심각하게 고민을 해본 적이 없었던 것 같다. 다만 −는 부호가 반대로 뒤집히는 것을 의미하기 때문에 −의 −는 부호가 두 번 뒤집히면서 원래의 부호가 된다는 정도로 이해를 하고 넘어갔던 것 같다.
초등학교 수학을 딸에게 직접 가르치면서 곱셈은 같은 수를 여러 번 더하는 것을 편리하게 처리하기 위해 사용하는 개념이라고 설명했었다. “2×3: 2개씩 3묶음”이라는 묶어세기의 개념으로 딸에게 설명했다. 수직선 상에서는 원점으로부터 2개씩 3번 오른쪽으로 건너뛰기(=점프) 하는 개념으로도 이해할 수 있다고 설명을 하기도 했다.
그런데 이런 개념을 바탕으로 “(-2) × (-3)”을 이해하려고 했더니 “−2개”와 “−3묶음” 이라는 것이 와닿지 않는다고 했다. 이것은 나에게도 와닿지 않았다. 그래서 설명을 할 수 있는 방법을 생각을 해보았다.
다음과 같은 네 가지 경우에 대해서 차례대로 생각을 해보자.
- (+1) × (+1) = (+1)
- (+1) × (−1) = (−1)
- (−1) × (+1) = (−1)
- (−1) × (−1) = (+1)
1번은 한 개씩 한 묶음이기 때문에 결과는 1이 된다. 이것은 어렵지 않게 이해할 수 있다.
2번과 3번은 같은 내용이다. 곱셈은 순서를 바꾸어도 결과가 변하지 않는다는 교환법칙이 성립하기 때문이다. 2번은 한 칸씩 왼쪽으로 한 번 건너뛰기(=점프)의 개념이기 때문에 결과가 -1이 되는 것을 알 수 있다. -1을 1번 더한 결과는 -1이라고 이해해도 좋다.
문제는 4번이다. 4번은 묶어세기나 건너뛰기와 같은 직관적인 개념으로 이해하기 쉽지 않다. 이에 대한 수학적 증명은 다음과 같다.
0 = (−1) × 0 = (−1) × { (+1) + (−1) } = { (−1) × (+1) } + { (−1) × (−1) } = (−1) + { (−1) × (−1) }
(-1)을 좌변으로 이항하면 (−1) × (−1) = (+1) 이 되는 것을 알 수 있다.
(양변)에 임의의 수를 곱해도 여전히 등식은 성립하므로 (−2) × (−3) = (+6) 등으로 확장이 가능하다.
이렇게 수학적인 증명이 가능하기는 하지만 사실 초등학교 수준에서 이러한 사실이 가슴 깊이 와닿지는 않을 것이다.
그저 “(음수) × (음수) = (양수)로 정해야 다른 수학적 사실들에 위배되지 않기 때문에 이렇게 약속하기로 한다.” 정도로 정리하는 편이 좋은 것 같다.